设α1,α2,α3是其次线性方程组Ax =0的基础解系,证明:β1=α1+α2+α3,β2=α1+α2+2α3,β3=3α1+2α2+α3也可以做Ax =0的基础解系
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 06:10:47
![设α1,α2,α3是其次线性方程组Ax =0的基础解系,证明:β1=α1+α2+α3,β2=α1+α2+2α3,β3=3α1+2α2+α3也可以做Ax =0的基础解系](/uploads/image/z/6861577-49-7.jpg?t=%E8%AE%BE%CE%B11%2C%CE%B12%2C%CE%B13%E6%98%AF%E5%85%B6%E6%AC%A1%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84Ax+%3D0%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%3A%CE%B21%3D%CE%B11%2B%CE%B12%2B%CE%B13%2C%CE%B22%3D%CE%B11%2B%CE%B12%2B2%CE%B13%2C%CE%B23%3D3%CE%B11%2B2%CE%B12%2B%CE%B13%E4%B9%9F%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E5%81%9AAx+%3D0%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A1%80%E8%A7%A3%E7%B3%BB)
设α1,α2,α3是其次线性方程组Ax =0的基础解系,证明:β1=α1+α2+α3,β2=α1+α2+2α3,β3=3α1+2α2+α3也可以做Ax =0的基础解系
设α1,α2,α3是其次线性方程组Ax =0的基础解系,证明:β1=α1+α2+α3,β2=α1+α2+2α3,β3=3α1+2α2+α3也可以做Ax =0的基础解系
设α1,α2,α3是其次线性方程组Ax =0的基础解系,证明:β1=α1+α2+α3,β2=α1+α2+2α3,β3=3α1+2α2+α3也可以做Ax =0的基础解系
首先题目应该交代了α1,α2,α3,α4为Ax=0的基础解系.
可见α1,α2,α3,α4为Ax=0的基础解中的极大线性无关组,秩为4.
证明:1.证明α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1认为Ax=0的解;
A(α1+α2)=Aα1+ Aα2=0+0=0,显然α1+α2为Ax=0的解,同理可证其他向量也为Ax=0的解.
2.或者证明α1,α2,α3,α4和α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1为等价向量组
或者证明α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1为线性无关组.
我们采用第二种证明方法:
设c1(α1+α2)+c2(α2+α3)+c3( α3+α4)+c4(α4+α1)=0
整理得(c1+c4)α1+(c1+c2)α2+(c2+c3)α3+(c3+c4)α4=0
由α1,α2,α3,α4线性无关可得
c1+c4=0
c1+c2=0
c2+c3=0
c3+c4=0
解方程组得c1=c2=c3=c4=0.从而α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1线性无关
又由于其为Ax=0的解,所以其为Ax=0的基础解系.
证毕!
这样可以么?