多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明:F(X)=0有n+1个不同根,则F(X)恒等于0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 15:28:52
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多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明:F(X)=0有n+1个不同根,则F(X)恒等于0
多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明:F(X)=0有n+1个不同根,则F(X)恒等于0
多项式F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,证明:F(X)=0有n+1个不同根,则F(X)恒等于0
F(X)=0有n+1个不同根 设为x0,x1,x2,……,xn
所以有F(x0)=0,F(x1)=0,……,F(xn)=0
即
a0+a1(x0)+a2(x0)^2+...+an(x0)^n=0
a0+a1(x1)+a2(x1)^2+...+an(x1)^n=0
………………………………
a0+a1(xn)+a2(xn)^2+...+an(xn)^n=0
这是一个n+1个方程n+1个未知数的线性方程组 未知数为a0,a1,a2,……,an
系数行列式刚好是范德蒙德行列式D(x0,x1,x2,……,xn)
因根都不同 所以 范德蒙德行列式不为零
由克莱默法则 可知 系数行列式非零 则 方程组仅有零解 所以
a0,a1,a2,……,an都为零
所以F(X)恒等于0
有罗尔定理知f'(x)=0有n个根,f(x)的n阶导数为0有一根,又f(x)的n阶导数为n!an,故an=0,依此类推可知系数全为0,f(x)恒等于0
你好!
数学里有一条重要定理,叫做“代数基本定理”(Fundamental theorem of algebra),它说的是:
任意一个关于x的n次方程,一定正好有n个根(包括复数根)。
因此,对于F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,有n+1个不同根,那么它一定不是一个n 次多项式,那只能是一个零多项式——也就是说,各项系数均为0!从而,F(x)恒等于0...
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你好!
数学里有一条重要定理,叫做“代数基本定理”(Fundamental theorem of algebra),它说的是:
任意一个关于x的n次方程,一定正好有n个根(包括复数根)。
因此,对于F(X)=a0+a1x+a2x^2+...+anx^n,有n+1个不同根,那么它一定不是一个n 次多项式,那只能是一个零多项式——也就是说,各项系数均为0!从而,F(x)恒等于0.
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