证明不等式大小已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2(a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 01:21:06
![证明不等式大小已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2(a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).](/uploads/image/z/7136461-37-1.jpg?t=%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E5%B7%B2%E7%9F%A5a%2Cb%2Cc%E2%88%88R%2B%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%80%E4%B8%8B%E5%BC%8F%E5%AD%90.%28ab%2Bac%2Bbc%2Bc%26sup2%3B%29%E2%89%A516abc.%E5%92%8C2%EF%BC%88a%26sup3%3B%2Bb%26sup3%3B%2Bc%26sup3%3B%29%E2%89%A5a%26sup2%3B%28b%2Bc%29%2Bb%26sup2%3B%28a%2Bc%29%2Bc%26sup2%3B%28a%2Bb%29.)
证明不等式大小已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2(a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).
证明不等式大小
已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2(a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).
证明不等式大小已知a,b,c∈R+,证明一下式子.(ab+ac+bc+c²)≥16abc.和2(a³+b³+c³)≥a²(b+c)+b²(a+c)+c²(a+b).
(1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc
这个不等式不成立,取a=b=c=1,则左边=4,右边=16
不成立.
而成立的应该是(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>=16abc
因为由均值不等式可得ab+a+b+1>=4*四次根号(a^2b^2)
ab+ac+bc+c^2>=4*四次根号(a^2b^2c^4)
以上两式相乘可得(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>=16*四次根号(a^4b^4c^4)=16abc
因此(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c^2)>=16abc成立.
(2)2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)
证明,由均值不等式可得:2(a^3+b^3+c^3)=a^3+b^3+c^3+(a^3+b^3+c^3)>=a^3+b^3+c^3+3abc
于是我们只要证明:a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)即可
上式等价于:
a^3+b^3+c^3-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3abc>=0
事实上上式显然成立,上式就是著名的Schur不等式.一般情形的Schur不等式如下:
a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-c)(b-a)+c^r(c-a)(c-b)>=0
其中r∈R且a,b,c>=0
本题是当r=1的情形.
这里就以本题情形证明一下a^3+b^3+c^3-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3abc>=0成立.
因为a^3+b^3+c^3-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+3abc=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)
由对称性,不妨设a>=b>=c>=0
则b-c>=0,a-b>=0,a>=b>=0,于是c(c-a)(c-b)>=0
则a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)>=a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)=a(a-b)(a-c)-b(b-c)(a-b)>=b(a-b)(a-c)-b(b-c)(a-b)=b(a-b)^2>=0
显然成立.
于是当r=1时Schur不等式成立.则原不等式得证.