过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(P/2,P) 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点(1)求证:直线AB的斜率为定值;(2)已知A、B两点均在抛物线C:y2=2px(y≤0)上,若△MAB的面
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 02:20:09
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过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(P/2,P) 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点(1)求证:直线AB的斜率为定值;(2)已知A、B两点均在抛物线C:y2=2px(y≤0)上,若△MAB的面
过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(P/2,P) 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点(1)求证:直线AB的斜率为定值;
(2)已知A、B两点均在抛物线C:y2=2px(y≤0)上,若△MAB的面积的最大值为6,求抛物线的方程
过抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(P/2,P) 作倾斜角互补的两条直线,分别与抛物线交于A、B两点(1)求证:直线AB的斜率为定值;(2)已知A、B两点均在抛物线C:y2=2px(y≤0)上,若△MAB的面
(1)证明:设 A(y1^2/2p,y1) B(y2^2/2p,y2)
由KAM=-kBM可得y1+y2=-2p
∴ KAB=(y1-y2)/(y1^2/2p-y2^2/2p)=-1
(2)AB的方程为:y-y1=-(x-y1^2/2p),即x+y -y1-y1^2/2p=0
点M到AB的距离d= |3p2-2py1-y1^2|/2√2p
AB=√2|x1-x2|= √2|y2^2/2p-y1^2/2p|=√ 2/2p|y1+y2||y1-y2|=2√2|p+y1|
又∵y1+y2=-2p,y1y2<0 y1∈[-2p,0]
令p+y1=t ∴t∈[-p,p]
S△MAB=1/2•2√2|p+y1|•|3p^2-2py1-y1^2|/2√2p= (1/(2p))*I4p^2t-t^3|
设f(t)=|4p2t-t3| ∵f(t)为偶函数,故只需考虑t∈[0,p]时
f(t)=4p^2t-t^3,f′(t)=4p^2-3t^2>0,∴f(t)在[0,p]单调递增
∴当t=p时,f(t)的最小值为:3p^3
∴S△MAB=(1/(2p))•3p^3=3p^2/2=6
∴p=2,则抛物线方程为:y^2=4x
不好意思符号多了些,还望见谅╭(∩ ω ∩#)╮