判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性,求和范围1-n求和范围1到n

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 09:51:36
判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性,求和范围1-n求和范围1到n

判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性,求和范围1-n求和范围1到n
判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性
判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性,求和范围1-n
求和范围1到n

判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性判别级数∑(n+1)/2^n的敛散性,求和范围1-n求和范围1到n
利用比值判别法可判别该级数收敛.为求和,作幂级数
   f(x) = ∑{n>=0}(n+1)x^n,|x|<1,
积分,得
   ∫[0,x]f(t)dt
  = ∑{n>=0}(n+1)∫[0,x](t^n)dt
  = ∑{n>=0}x^(n+1)
  = 1/(1-x) - 1,|x|<1,
求导,得
   f(x) = 1/(1-x)^2,|x|<1.
因此,
   ∑{n>=0}(n+1)(1/2)^n = f(1/2) = ……

级数∑n/2^n可用比值判别法收敛
级数∑1/2^n是公比1/2的等比级数收敛
所以:级数∑(n+1)/2^n收敛