作业帮若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四边形的对棱两两垂直.不管你的思考需要多久,我都会耐心等待的!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 08:46:10
若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四边形的对棱两两垂直.不管你的思考需要多久,我都会耐心等待的!
若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四边形的对棱两两垂直.
不管你的思考需要多久,我都会耐心等待的!
若四面体对应棱的中点间的距离都相等,证明这个四边形的对棱两两垂直.不管你的思考需要多久,我都会耐心等待的!
设四面体的四顶点A、B、C、D；AB、AC、AD、BC、BD、CD的中点分别为E、F、G、H、I、J.另取一定点0,A、B、C、D对应的向量分别记作 OA、OB、OC、OD,则 0E=(OA+OB)/2,OJ=(OC+OD)/2,EJ=(OC+OD-OA-OB)/2,同理 FI=(OB+OD-OA-OC)/2,GH=(OC+OB-OA-OD)/2.又由条件有 |EJ|=|FI|=|GH|,即 JE•JE=FI•FI=GH•GH,(OC+OD-OA-OB)•(OC+OD-OA-OB)＝(OB+OD-OA-OC)•(OB+OD-OA-OC)＝(OC+OB-OA-OD)•(OC+OB-OA-OD),OA•OB+OC•OD＝OA•OC+OB•OD＝OA•OD+OB•OC.于是 AB•CD=(OB-0A)•(OD-OC)=(0B•0D+0A•0C)-(0A•0D+0B•0C)=0,即 AB⊥CD,同理 AC⊥BD,AD⊥BC,即对棱互相垂直.
只要证明一对其它同理即可，具体的公理记不清了。
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