两道平面几何 数学竞赛① 四边形ABCD,由各边中点向外作垂线,且其长为该边的一半,得四点PQRS,求证PR=QS PR⊥QS② 圆内接四边形ABCD 求证 ABC BCD CDA DAB 四个三角形重心四点共圆详细一点
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 03:17:48
![两道平面几何 数学竞赛① 四边形ABCD,由各边中点向外作垂线,且其长为该边的一半,得四点PQRS,求证PR=QS PR⊥QS② 圆内接四边形ABCD 求证 ABC BCD CDA DAB 四个三角形重心四点共圆详细一点](/uploads/image/z/8529568-16-8.jpg?t=%E4%B8%A4%E9%81%93%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95+%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%AB%9E%E8%B5%9B%E2%91%A0+%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD%2C%E7%94%B1%E5%90%84%E8%BE%B9%E4%B8%AD%E7%82%B9%E5%90%91%E5%A4%96%E4%BD%9C%E5%9E%82%E7%BA%BF%2C%E4%B8%94%E5%85%B6%E9%95%BF%E4%B8%BA%E8%AF%A5%E8%BE%B9%E7%9A%84%E4%B8%80%E5%8D%8A%2C%E5%BE%97%E5%9B%9B%E7%82%B9PQRS%2C%E6%B1%82%E8%AF%81PR%3DQS++PR%E2%8A%A5QS%E2%91%A1+%E5%9C%86%E5%86%85%E6%8E%A5%E5%9B%9B%E8%BE%B9%E5%BD%A2ABCD+%E6%B1%82%E8%AF%81+ABC+BCD+CDA+DAB+%E5%9B%9B%E4%B8%AA%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E9%87%8D%E5%BF%83%E5%9B%9B%E7%82%B9%E5%85%B1%E5%9C%86%E8%AF%A6%E7%BB%86%E4%B8%80%E7%82%B9)
两道平面几何 数学竞赛① 四边形ABCD,由各边中点向外作垂线,且其长为该边的一半,得四点PQRS,求证PR=QS PR⊥QS② 圆内接四边形ABCD 求证 ABC BCD CDA DAB 四个三角形重心四点共圆详细一点
两道平面几何 数学竞赛
① 四边形ABCD,由各边中点向外作垂线,且其长为该边的一半,得四点PQRS,求证PR=QS PR⊥QS
② 圆内接四边形ABCD 求证 ABC BCD CDA DAB 四个三角形重心四点共圆
详细一点
两道平面几何 数学竞赛① 四边形ABCD,由各边中点向外作垂线,且其长为该边的一半,得四点PQRS,求证PR=QS PR⊥QS② 圆内接四边形ABCD 求证 ABC BCD CDA DAB 四个三角形重心四点共圆详细一点
1、由于用几何画板画图自动出现字母,PQRS就是D1、E1、F1、G1.以四边为边长向外作正方形如图,那么
D1、E1、F1、G1四个正方形对角线交点(无需证明),AB=BS,BC1=BD,
∠SBD=∠ABC1=90°+∠ABD,
△SBD≌△ABC1,SD=AC1,∠BC1Q1=∠Q1DO1,∠BQ1C1=∠O1Q1D,∠BQ1C1+∠BC1Q1=90°,
所以∠O1Q1D+∠Q1DO1=90°,AC1⊥SD.同理可证:AW=DV.
连接AD取中点H1,连线如图.我要证明△D1H1E1≌△G1H1F1
F1H1=1/2AC1,D1H1=1/2SD(三角形中位线),SD=AC1(已证)F1H1=D1H1.同理可证H1E1=H1G1.
有了两边对应相等,再证夹角相等即可.
又因D1H1‖SD,H1F1‖AC1,所以四边形 P1O1N1H1为平行四边形,又AC1⊥SD,∠P1O1N1=90°,所以它也是矩形,∠D1H1F1=90°,
同理可证;四边形R1S1T1H1也为矩形,∠G1H1E1=90°,
∠D1H1E1=90°+∠D1H1G1;∠G1H1F1=90°+∠D1H1G1,所以∠D1H1E1=∠G1H1F1,
所以△D1H1E1≌△G1H1F1,G1F1=D1E1(相等得证),∠H1F1G1=∠H1D1M1,
又∠H1U1F1=∠D1U1M1(对顶角),∠H1U1F1+∠H1F1G1=90°,∠D1U1M1+∠H1D1M1=90°,
所以在三角形M1D1U1里,∠D1M1F1=90°.所以G1F1⊥D1E1.
2、根据三角形重心(即中心,也就是三角形三条中线交点),在三角形ABG中BU、GC为中线,UC为中位线,
UC‖BG,显而易见△UQC∽△BQG,又UC=1/2BG,所以PQ=1/2AQ=1/3AP,由此得出结论任意三角形中心到对
边中点的距离是这边上中线长的1/3.
所以PQ/AP=1/3,PS/PF=1/3,所以PQ/AP=PS/PF,∠QPS为公共角,△PQS∽△PAF,QS/AF=PQ/AP=1/3,
∠PSQ=∠PFA,所以QS‖AF,
同理,ST‖AG,TY‖BG,YQ‖BF,TS/AG=RS/RG=1/3,TY/BG=XT/XB=1/3,QY/BF=UQ/UB=1/3,
所以ST/AG=TY/BG=QY/BF=QS/AF,
又PS/PF=1/3,UY/UF=1/3,所以PS/PF=UY/UF=1/3,所以FY/UF=SF/PF=2/3,∠UPF为公共角,
△FSY∽△FUP,所以SY/UP=2/3,UP=1/2AB,因此,SY/AB=1/3,
又TY/BG=TS/AG,所以TY/BG=TS/AG=SY/AB,所以△TSY∽△AGB,∠STY=∠AGB,
同理可证:∠GAF=∠QST,∠AFB=∠SQY,∠GBF=∠TYQ
四边形AGBF∽四边形STYQ,
所以S、T、Y、Q四点共圆.
没有图吗