设函数f(x)在[0,1]上连续且不恒为零,在(0,1)内可导,且f(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f‘(ξ)>0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 01:42:09
![设函数f(x)在[0,1]上连续且不恒为零,在(0,1)内可导,且f(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f‘(ξ)>0](/uploads/image/z/8709935-23-5.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E5%9C%A8%5B0%2C1%5D%E4%B8%8A%E8%BF%9E%E7%BB%AD%E4%B8%94%E4%B8%8D%E6%81%92%E4%B8%BA%E9%9B%B6%2C%E5%9C%A8%280%2C1%29%E5%86%85%E5%8F%AF%E5%AF%BC%2C%E4%B8%94f%280%29%3D0%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%3A%E5%AD%98%E5%9C%A8%CE%BE%E2%88%88%280%2C1%29%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97f%28%CE%BE%29f%E2%80%98%28%CE%BE%29%3E0)
设函数f(x)在[0,1]上连续且不恒为零,在(0,1)内可导,且f(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f‘(ξ)>0
设函数f(x)在[0,1]上连续且不恒为零,在(0,1)内可导,且f(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f‘(ξ)>0
设函数f(x)在[0,1]上连续且不恒为零,在(0,1)内可导,且f(0)=0,证明:存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f‘(ξ)>0
f(x) = f(0) +f'(ξ)x ( Taylor expansion)
put x=ξ
f(ξ) = f'(ξ)ξ
f'(ξ)f(ξ) = [f(ξ)]^2/ξ >0
∵f(x)在[0,1]上连续且不恒为零
∴存在一点A∈(0,1),使得f(x)在[0,A]内成单调递增或递减
假设f(x)在[0,A]内成单调递增,则对于任一点ξ∈(0,A),f(ξ)>f(0)=0,且f‘(ξ)>0,∴f(ξ)f‘(ξ)>0
假设f(x)在[0,A]内成单调递减,则对于任一点ξ∈(0,A),f(ξ)
全部展开
∵f(x)在[0,1]上连续且不恒为零
∴存在一点A∈(0,1),使得f(x)在[0,A]内成单调递增或递减
假设f(x)在[0,A]内成单调递增,则对于任一点ξ∈(0,A),f(ξ)>f(0)=0,且f‘(ξ)>0,∴f(ξ)f‘(ξ)>0
假设f(x)在[0,A]内成单调递减,则对于任一点ξ∈(0,A),f(ξ)
综上所述,存在一点ξ∈(0,A)亦即ξ∈(0,1),使得f(ξ)f‘(ξ)>0
收起
因为f(x)不横为0,所以存在这样的t∈(0,1)使得f(t)>0或者<0,
不妨假设f(t)>0,且对于任意x∈(0,t)都有f(x)>0
即得(f(t)-f(0))/(t-0)>0
根据洛比塔法则存在这样的ξ∈(0,t)
f‘(ξ)=(f(t)-f(0))/(t-0)
且f(ξ)>0
综上所述f(ξ)f‘(ξ)>0为什么可以“不妨设”f(t)>0...
全部展开
因为f(x)不横为0,所以存在这样的t∈(0,1)使得f(t)>0或者<0,
不妨假设f(t)>0,且对于任意x∈(0,t)都有f(x)>0
即得(f(t)-f(0))/(t-0)>0
根据洛比塔法则存在这样的ξ∈(0,t)
f‘(ξ)=(f(t)-f(0))/(t-0)
且f(ξ)>0
综上所述f(ξ)f‘(ξ)>0
收起