作业帮高中数学1几何题需过程已知棱锥的顶点在底面内的射影在底面的内部,其侧面与底面所成的角都相等,试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置,并证明你的结论.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 19:45:09
高中数学1几何题需过程已知棱锥的顶点在底面内的射影在底面的内部,其侧面与底面所成的角都相等,试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置,并证明你的结论.
高中数学1几何题需过程
已知棱锥的顶点在底面内的射影在底面的内部,其侧面与底面所成的角都相等,试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置,并证明你的结论.
高中数学1几何题需过程已知棱锥的顶点在底面内的射影在底面的内部,其侧面与底面所成的角都相等,试说出棱锥的顶点在底面内的射影所在的位置,并证明你的结论.
设棱锥P-ABCD...,高为PO,O在底面多边形内部,从顶点分别向底多边形边作垂线H1、H2...,连结O与各垂足,根据三垂线逆定理,则O与各边垂直,
在底面的内心 （即内切圆的圆心）
从顶点P作底面的垂线，交底面于Q，作QD垂直任意一条底边AB,交AB于D
则：角PDQ=侧面与底面所成的角=定值,记为a
QD=PQ*ctga=定值
即Q到底面任意一条边的距离相等，即Q为底面的内心
过顶点P分别作到各底边的垂线，将垂点分别命名为N1,N2……。分别作N1,N2……到顶点在底面内的射影点O的连线。设点N是点N1,N2……中的一个，则∠PNO是个固定的值（当N取遍点N1,N2……时），而∠PON是直角，垂线PO是公共边，故三角形PNO全等。那么，NO就是固定值。
根据三垂线定理，由于底边⊥PN,故底边⊥NO。
综上所述，顶点在底面内的射影O是底面多边形的内心。即底...
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过顶点P分别作到各底边的垂线，将垂点分别命名为N1,N2……。分别作N1,N2……到顶点在底面内的射影点O的连线。设点N是点N1,N2……中的一个，则∠PNO是个固定的值（当N取遍点N1,N2……时），而∠PON是直角，垂线PO是公共边，故三角形PNO全等。那么，NO就是固定值。
根据三垂线定理，由于底边⊥PN,故底边⊥NO。
综上所述，顶点在底面内的射影O是底面多边形的内心。即底面多边形的内切圆的圆心。
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