作业帮类比求1的平方+2的平方+3的平方+.+n的平方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 08:00:47
类比求1的平方+2的平方+3的平方+.+n的平方
类比求1的平方+2的平方+3的平方+.+n的平方
类比求1的平方+2的平方+3的平方+.+n的平方
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1平方+2平方+3平方+4平方+...+n平方 = n(n+1)(2n+1)/6
这可以算是一个公式，应该记住的，推导过程如下：
(n+1)³=n³+3n²+3n+1
n³=(n-1)³+3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1) ³=(n-2)³+3(n-2)²+3(n-2)+1
...
全部展开
这可以算是一个公式，应该记住的，推导过程如下：
(n+1)³=n³+3n²+3n+1
n³=(n-1)³+3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1) ³=(n-2)³+3(n-2)²+3(n-2)+1
。
。
2³=1³+3.1²+3.1+1
1³=1
把这些等式相加得：(n+1)³=3∑n²+3∑n+(n+1)
∑n=n(n+1)/2这个没问题吧，
化简就可以得到∑n²=n(n+1)(2n+1)/6
PS：利用(n+1)^4=n^4+4n³+6n²+4n+1可以推导出∑n³=n²(n+1)²/4 当然这里要用到∑n²
其实用这个方法可以推出任意的∑n^k，只要提前知道：∑n^(k-1),∑n^(k-2),∑n^(k-3)……,∑n²,∑n就可以了，只是计算量会越来越大，一般记住∑n³以下的就可以了，再高阶的一般只会要你用数学归纳法验证而已。
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n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
利用立方差公式