菱形ABCD中,∠BAD=60º ,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是3,则AB长为 .
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 06:07:30
![菱形ABCD中,∠BAD=60º ,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是3,则AB长为 .](/uploads/image/z/8889785-17-5.jpg?t=%E8%8F%B1%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0BAD%3D60%26ordm%3B+%2CM%E6%98%AFAB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CP%E6%98%AF%E5%AF%B9%E8%A7%92%E7%BA%BFAC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E8%8B%A5PM%2BPB%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E6%98%AF3%2C%E5%88%99AB%E9%95%BF%E4%B8%BA+%EF%BC%8E)
菱形ABCD中,∠BAD=60º ,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是3,则AB长为 .
菱形ABCD中,∠BAD=60º ,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是3,则AB长为 .
菱形ABCD中,∠BAD=60º ,M是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若PM+PB的最小值是3,则AB长为 .
连接BD
四边形ABCD是菱形,AD=AB
∵∠BAD=60º,∴三角形ABD是等边三角形
BD、AC相互垂直平分,∴D是B关于AC的对称点
因此DM与AC交点即为所求P点位置
∵P在BD垂直平分线上,∴PB=PD,因此DM长就是最小值3.
M是AB中点,三角形ABD是等边三角形,∴DM⊥AB
RT△ADM中,∠DAM=60°,AD:DM=2:√3
AD=AB=2√3
先连接BD,交AC于点P′,连接BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD,BE=DE,
∵∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,点D是点B关于AC的对称点,则BP′=DP′,
∴当P于P′重合时PM+PB的值最小,最小值为MD,
∵M是AB的中点,△ABD是等边三角形,
∴DM⊥AB,
∴DM=AD2-AM2=...
全部展开
先连接BD,交AC于点P′,连接BE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AC⊥BD,BE=DE,
∵∠BAD=60°,
∴△ABD是等边三角形,点D是点B关于AC的对称点,则BP′=DP′,
∴当P于P′重合时PM+PB的值最小,最小值为MD,
∵M是AB的中点,△ABD是等边三角形,
∴DM⊥AB,
∴DM=AD2-AM2=32-(
32)2=323,即PM+PB的最小值为323.
故答案为:323.点评:本题考查的是最短线路问题及菱形的性质,由菱形的性质得出点D是点B关于AC的对称点是解答此题的
收起
二倍根号三