在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x^2+2ax-b^2+π^2有零点的概率为
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/14 12:52:48
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在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x^2+2ax-b^2+π^2有零点的概率为
在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x^2+2ax-b^2+π^2有零点的概率为
在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x^2+2ax-b^2+π^2有零点的概率为
f(x)是一个二次函数,有零点的等价条件为判别式大于等于零,即:
4a^2-4(-b^2+π^2)≥0整理得:
a^2+b^2-π^2≥0.即:a^2+b^2≥π^2.这是一个半径为π的圆的外部.而[-π,π]内随机取两个数构成的是一个正方形的内部.公共部分的面积为:4π^2-π^3.
所以概率为:(4π^2-π^3)/4π^2=1-π/4.
这是求f(x)=0存在实数根的概率.
f(x)=0存在实数根的条件为Δ=4ac-b²≥0.
即4×1×(-b²+π²)-(2a)²≥0.
即4π²-4b²-4a²≥0.
化简得π²-b²-a²≥0.
即a²+b²≤π².
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这是求f(x)=0存在实数根的概率.
f(x)=0存在实数根的条件为Δ=4ac-b²≥0.
即4×1×(-b²+π²)-(2a)²≥0.
即4π²-4b²-4a²≥0.
化简得π²-b²-a²≥0.
即a²+b²≤π².
以a为横坐标,b为纵坐标建立平面直角坐标系,则当a,b满足f(x)=0时,坐标(a,b)落在以原点为圆心,π为半径的圆外(包括边界).
所有(a,b)的点构成的图形为一正方形,正方形的左边界为直线a=-π,右边界为直线a=π,上边界为直线b=π,下边界为直线b=-π.此正方形正好是上面所说的圆的外切正方形.
所求的概率为点(a,b)落在正方形上但不在圆上的概率与落在正方形上的概率之比,等价于(正方形面积-圆的面积)与正方形的面积之比.这个比值为(2π×2π-π×π²)/(2π×2π)=1-π/4.
这就是所求的概率.
收起
用面积法计算就可以了!