作业帮空间向量 (13 17:55:27)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别是AB,SC的中点.（1）求证：EF‖平面SAD.（2）若SD=2CD,求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 10:51:08
空间向量 (13 17:55:27)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别是AB,SC的中点.（1）求证：EF‖平面SAD.（2）若SD=2CD,求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.
空间向量 (13 17:55:27)
如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别是AB,SC的中点.
（1）求证：EF‖平面SAD.
（2）若SD=2CD,求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.
空间向量 (13 17:55:27)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F分别是AB,SC的中点.（1）求证：EF‖平面SAD.（2）若SD=2CD,求二面角A-EF-D的平面角的余弦值.
(1)因为E,F分别是AB,SC的中点.设DC的中点为M,连接EM、FM,得EM‖AD,FM‖SD,进而有平面SAD‖平面EFM,EF在平面EFM内.所以,EF‖平面SAD.
(2)以D为坐标原点,DC、DA、DS分别为x、y、z轴建立直角坐标系.D（0,0,0）,C（2,0,0）,A（0,2,0）,S（0,0,4）,B（2,2,0）,E（1,2,0）,F（1,0,2）.向量DE=（1,2,0）,向量DF=（1,0,2）,向量AE=（1,0,0）,向量AF=（1,-2,2）.设平面AEF的法向量为向量m=(a,b,c),平面DEF的法向量为向量n=(e,f,g).有a=0,b=c,取b=c=1,即得向量m=(0,1,1)；还有e+2f=0,e+2g=0,取f=g=1,得e=-2,向量n=（-2,1,1）.向量m与向量n夹角的余弦值为（1+1）/（√2*√6）=√3/3,二面角A-EF-D的平面角的余弦值为-√3/3.