已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin2β,求证2tan2β=tanα+tanβ
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 05:11:29
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已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin2β,求证2tan2β=tanα+tanβ
已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin2β,求证2tan2β=tanα+tanβ
已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin2β,求证2tan2β=tanα+tanβ
tan(α-β)=sin2β
即(tana-tanβ)/(1+tana*tanβ)=2sinβcosβ/(sinβsinβ+cosβcosβ)=2tanβ/(1+tanβ*tanβ)
得tana=(2(tanβ的3次方)+3tanβ)/(1-tanβ的2次方)
tana+tanβ=tanβ+(2(tanβ的3次方)+3tanβ)/(1-tanβ的2次方)=2tan2β
∵tan(α-β)=sin2β,
左边: tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ),
右边: sin2β=2sinβcosβ
=(2sinβcosβ)/1
=(2sinβcosβ)/(sin2β+cos2β)
=...
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∵tan(α-β)=sin2β,
左边: tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ),
右边: sin2β=2sinβcosβ
=(2sinβcosβ)/1
=(2sinβcosβ)/(sin2β+cos2β)
=(2tanβ)/(1+tan2β),
∴(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)=(2tanβ)/(1+tan2β)。
去分母整理得:tanα=(3tanβ+tan3β)/(1-tan2β).
∴tanα+tanβ=(3tanβ+tan3β+tanβ-tan3β)/(1-tan2β)
=(2×2tanβ)/(1-tan2β)
=2tan2β.
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