泰勒公式的余项有多少种泰勒公式除了皮亚诺余项,拉格朗日余项外还有哪种形式的余项!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 15:06:34
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最重要的其实是积分型余项.
反复利用分部积分法可得:
Rn(x) = \int_a^x f^(n+1)(t)/n!*(x-t)^n dt,其中a是展开的中心.
积分型余项对复函数也成立.
对于实函数,利用积分型余项并结合积分第一中值定理容易得到Lagrange余项和Cauchy余项(见二楼的回答).
http://www.jlict.edu.cn/jingpinke/kechengjiaoan/003/%E6%B3%B0%E5%8B%92%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%88%E6%8F%90%E9%AB%98%E7%8F%AD%EF%BC%89.doc
柯西余项吧:
Rn(x) = f(n+1)(a+θ(x-a))(1-θ)^n (x-a)^(n+1)/n!
[f(n+1)是f的n+1阶导数,θ∈(0,1)]
有四种:佩亚诺余项,拉格朗日余项,积分型余项和柯西型余项。其中佩亚诺余项是定性形式的余项,其他三种则是定量形式的余项。