基本初等函数的问题已知函数f(x) =(1/x)-x 设x+y=k,若不等式f(x)f(y)≥((k/2)-(2/k))^2对一切x,y∈(0,k)恒成立,求实数k的范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 19:47:23
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基本初等函数的问题已知函数f(x) =(1/x)-x 设x+y=k,若不等式f(x)f(y)≥((k/2)-(2/k))^2对一切x,y∈(0,k)恒成立,求实数k的范围
基本初等函数的问题
已知函数f(x) =(1/x)-x 设x+y=k,若不等式f(x)f(y)≥((k/2)-(2/k))^2对一切x,y∈(0,k)恒成立,求实数k的范围
基本初等函数的问题已知函数f(x) =(1/x)-x 设x+y=k,若不等式f(x)f(y)≥((k/2)-(2/k))^2对一切x,y∈(0,k)恒成立,求实数k的范围
以下是我的解法,仅供参考
f(x)f(y)=(1/x-x)(1/y-y)=(1-k^2)/xy+xy+2≥(k/2-2/k)^2
设xy=m ∵x+y=k且X,Y∈(0,k) ∴0<m<k^2
则原不等式可变为H(m)=m^2+(4-k^2/4-4/k^2)m+(1-k^2)≥0
∴H(m)≥0对于任意m∈(0,k^2)恒成立
函数H(m)的对称轴为m=2/k^2+k^2/8-2
1°当2/k^2+k^2/8-2≤0时,即8-4√3≤k^2≤8+4√3时,只需
H(0)=1-k^2≥0且H(k^2)=k^4+(4-k^2/4-4/k^2)k^2+(1-k^2)≥0
解得0<k^2≤1,即0<k≤1
2°当0<2/k^2+k^2/8-2<k^2即k^2>8+4√3时只需
△≤0,解得空集
3°当2/k^2+k^2/8-2≥k^2时,即0<k^2≤(-8+4√11)/7时,只需
H(0)=1-k^2≥0且H(k^2)=k^4+(4-k^2/4-4/k^2)k^2+(1-k^2)≥0
解得0<k^2≤(-8+4√11)/7
又∵K=2时,也成立
综上所述:0<k≤1或k=2