21.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80π3立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 18:10:07
![21.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80π3立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表](/uploads/image/z/13094040-48-0.jpg?t=21%EF%BC%8E%E6%9F%90%E4%BC%81%E4%B8%9A%E6%8B%9F%E5%BB%BA%E9%80%A0%E5%A6%82%E5%9B%BE%E6%89%80%E7%A4%BA%E7%9A%84%E5%AE%B9%E5%99%A8%EF%BC%88%E4%B8%8D%E8%AE%A1%E5%8E%9A%E5%BA%A6%2C%E9%95%BF%E5%BA%A6%E5%8D%95%E4%BD%8D%EF%BC%9A%E7%B1%B3%EF%BC%89%2C%E5%85%B6%E4%B8%AD%E5%AE%B9%E5%99%A8%E7%9A%84%E4%B8%AD%E9%97%B4%E4%B8%BA%E5%9C%86%E6%9F%B1%E5%BD%A2%2C%E5%B7%A6%E5%8F%B3%E4%B8%A4%E7%AB%AF%E5%9D%87%E4%B8%BA%E5%8D%8A%E7%90%83%E5%BD%A2%2C%E6%8C%89%E7%85%A7%E8%AE%BE%E8%AE%A1%E8%A6%81%E6%B1%82%E5%AE%B9%E5%99%A8%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF%E4%B8%BA+80%CF%803%E7%AB%8B%E6%96%B9%E7%B1%B3%2C%E4%B8%94l%E2%89%A52r%EF%BC%8E%E5%81%87%E8%AE%BE%E8%AF%A5%E5%AE%B9%E5%99%A8%E7%9A%84%E5%BB%BA%E9%80%A0%E8%B4%B9%E7%94%A8%E4%BB%85%E4%B8%8E%E5%85%B6%E8%A1%A8)
21.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80π3立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表
21.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80π3立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.
(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.详细过程
21.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为 80π3立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表
(I)容器侧面积为 A1=2πr*L
两端半球表面积为 A2=4πr²
已知容器体积为 V=πr²*L+4/3*πr³=80π³
可解得 L=[80π²-4/3*r³]/r²
∴建造费用 y(r)=A1*3+A2*c
=2πr*[80π²-4/3*r³]/r²*3+4πr²*c
=48π³/r+4πr²(c-2)
∵L≥2r,∴[80π²-4/3*r³]/r²≥2r
可解得 定义域为 0<r≤(24π²)^(1/3)
(II)对y求关于r的导数,可得
y'(r)=-48π³/r²+8πr(c-2)
最小值存在,则y'(r)=0时,y(r)取得最小值
可得 -48π³/r²+8πr(c-2)=0
解得 r0=[6π²/(c-2)]^(1/3)
∴当r=r0时,建造费用最小