问一个抽象代数的问题,Z[p2]=(x+yp2|x,y∈z),这里p2是指根号2.1)证明(x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1) 和Z*(Z/2Z)是同构的.Z是整数集,Z/2Z=(0,1).2)通过上一题的结论,描述x^2-2y^2=±1的所有整数解.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 09:43:33
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问一个抽象代数的问题,Z[p2]=(x+yp2|x,y∈z),这里p2是指根号2.1)证明(x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1) 和Z*(Z/2Z)是同构的.Z是整数集,Z/2Z=(0,1).2)通过上一题的结论,描述x^2-2y^2=±1的所有整数解.
问一个抽象代数的问题,
Z[p2]=(x+yp2|x,y∈z),这里p2是指根号2.
1)证明(x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1) 和Z*(Z/2Z)是同构的.
Z是整数集,Z/2Z=(0,1).
2)通过上一题的结论,描述x^2-2y^2=±1的所有整数解.
问一个抽象代数的问题,Z[p2]=(x+yp2|x,y∈z),这里p2是指根号2.1)证明(x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1) 和Z*(Z/2Z)是同构的.Z是整数集,Z/2Z=(0,1).2)通过上一题的结论,描述x^2-2y^2=±1的所有整数解.
1)证明:考虑到如果 a,b都属于(x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1)
则a*b^(-1)也属于(x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1),所以
(x+yp2|x,y∈z,x^2-2y^2=±1)是一个子群.
另一方面:(1,1)和(-1,-1)是该子群的生成元.这点可以通过假设还有另一个生成元(x,y),最后证明x只能为1来得到生成元只有(1,1)和(-1,-1).
现考虑如下映射:
(1,1)^n |----> (n,0)
-1*(1,1)^n |----> (n,1)
(1,0) |---> (0,0)
(1,-1)^n |----> (-n,0)
-1*(1,-1)^n |----> (-n,1)
给出所要同构.
2)由上面分析知道,所有解为:(1,1)^n
注意:(1,1)^(-1)=(1,-1).
整数解