设β1,β2,...βs是线性方程组Ax=b的s个解.试证:若k1+k2+...+ks=1,则k1β1+k2β2+...+ksβs也是Ax=b的解线性代数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 14:06:46
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设β1,β2,...βs是线性方程组Ax=b的s个解.试证:若k1+k2+...+ks=1,则k1β1+k2β2+...+ksβs也是Ax=b的解线性代数
设β1,β2,...βs是线性方程组Ax=b的s个解.试证:若k1+k2+...+ks=1,则k1β1+k2β2+...+ksβs也是Ax=b的解
线性代数
设β1,β2,...βs是线性方程组Ax=b的s个解.试证:若k1+k2+...+ks=1,则k1β1+k2β2+...+ksβs也是Ax=b的解线性代数
证明: 因为 β1,β2,...βs是线性方程组Ax=b的解,
所以 Aβi = b, i=1,2,...,s
所以 A(k1β1+k2β2+...+ksβs)
= k1Aβ1+k2Aβ2+...+ksAβs
= k1b+k2b+...+ksb
= (k1+k2+...+ks)b
= b
所以, k1β1+k2β2+...+ksβs是Ax=b的解.
证毕.
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证明:A(k1β1+k2β2+...+ksβs)=k1Aβ1+k2Aβ2+…+ksAβs (1)
∵β1,β2,...βs是线性方程组Ax=b的s个解
∴Aβ1=b,Aβ2=b,…,Aβs=b
(1)式=k1b+k2b+…ksb=(k1+k2+…ks)b=b
所以A(k1β1+k2β2+...+ksβs)=b
即k1β1+k2β2+...+ksβs也是Ax=b的解
Aβ1=b,Aβ2=b,...Aβs=b
A(k1β1+k2β2+...+ksβs) = k1Aβ1+k2Aβ2+...+ksAβs = k1b+k2b+……+ksb = (k1+k2+...+ks)b = b
即k1β1+k2β2+...+ksβs是Ax=b的解