作业帮分类讨论设a为实数,设函数f（x）=a*根号下（1-x^2）+根号下（1+x）+根号下(1-x)的最大值为g(a) (1).设t=根号下(1+x)+根号下(1-x),求t的取值范围,并把f(x)的表示为t的函数m(t);(2).求g(a)(3)试求满足g(a)=g(1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 11:21:39
分类讨论设a为实数,设函数f（x）=a*根号下（1-x^2）+根号下（1+x）+根号下(1-x)的最大值为g(a) (1).设t=根号下(1+x)+根号下(1-x),求t的取值范围,并把f(x)的表示为t的函数m(t);(2).求g(a)(3)试求满足g(a)=g(1
分类讨论
设a为实数,设函数f（x）=a*根号下（1-x^2）+根号下（1+x）+根号下(1-x)的最大值为g(a)
(1).设t=根号下(1+x)+根号下(1-x),求t的取值范围,并把f(x)的表示为t的函数m(t);
(2).求g(a)
(3)试求满足g(a)=g(1/a)的所有实数a.
分类讨论设a为实数,设函数f（x）=a*根号下（1-x^2）+根号下（1+x）+根号下(1-x)的最大值为g(a) (1).设t=根号下(1+x)+根号下(1-x),求t的取值范围,并把f(x)的表示为t的函数m(t);(2).求g(a)(3)试求满足g(a)=g(1
t=√(1+x)+√(1-x)
t²=1+x+1-x+2√[(1+x)(1-x)]=2+2√[(1+x)(1-x)]
显然t²的范围是（2,4）,t的范围就是[√2,2]
所以：√(1-x²)=√[(1+x)(1-x)]=(t²-2)/2（因为此处定义域是符合要求的,所以可以拆分）
f(x)=m(t)=a(t²-2)/2+t （√2≤t≤2）
2：
当a=0时,f(x)=t,而t的最大值为2,这时f(x)的最大值就是g(a)=2
当a＜0时,f(x)的最大值其实就是m(t)的最大值,
m(t)=a/2t²+t-a
这时一个二次函数,当t=-1/a时,m(t)取得最大值-1/(2a)-a.不过,这一值不是可以取的,因为t是有取值范围的,所以要想在这里取得最大值,那么a也要满足t的取值范围,即要：
√2≤-1/a≤2→-1/√2≤a≤-1/2.所以总结起来就是,当
-1/√2≤a≤-1/2时,取的最大值-1/(2a)-a
当a＜-1/√2即-1/a＜√2时,也就是该二次函数的对称轴在t的最小值的左边,从图像上就可以判断,此时m(t)的最大值就是当t取√2的时候,即此时
g(a)=√2
当-1/2＜a＜0即-1/a＞2时,也就是该二次函数的对称轴在t的最大值的右边,
从图像上就可以判断,此时m(t)的最大值就是当t取2的时候,即此时
g(a)=a+2
当a＞0时,二次函数m(t)开口向上,且对称轴小于0,从图像上就可以看出,此时m(t)的最大值就是当t取2时的最大值,即此时
g(a)=a+2
综合前面所有的结论：
当a≤-1/√2时,g(a)=√2；………………………………情况①
当-1/√2≤a≤-1/2时,g(a)=-1/(2a)-a…………………情况②
当a＞-1/2时,g(a)=a+2……………………………………情况③
（情况③中,其实就是将当a=0时也包括进去了,因为当a=0时,符合这一函数）
3:
由2可知,当a＜-1/√2,1/a＞-√2,属于情况②,要想满足条件,只需让g(a)=-1/(2a)-a=√2,解得,a=-1/√2,其实也就是在这两种情况的交界处,所以a=-1/√2是符合要求的.
当-1/√2≤a≤-1/2时,-2≤1/a≤-√2,显然1/a是在情况①的范围.要想使之符合要求,只要令g(a)=√2,解出符合要求的a即可,而这已经在①中完成.
当-1/2＜a＜0时,1/a＜-2,这是情况1的范围了.令a+2=√2→a=√2-2,这就不属于-1/2＜a＜0这一范围了,所以当-1/2＜a＜0时,不存在符合要求的a值
当a=0,显然不符合要求.
当a＞0,1/a也是大于0,令
g(a)=g(1/a)→a+2=1/a+2,解出a=1（-1省略掉）
综合以上所有的情况,符合要求的实数a有：a=-1/√2,a=1.