已知a ,b, c三个正实数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/30 21:02:05

已知a ,b, c三个正实数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc
已知a ,b, c三个正实数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc

已知a ,b, c三个正实数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc
04175106811,
∵ab＋a＋b＋1＝（a＋1）×（b＋1）,
ab＋ac＋bc＋c^2＝（a＋c）×（b＋c）,
∴（ab＋a＋b＋1）（ab＋ac＋bc＋c^2）＝（a＋1）（b＋1）（a＋c）（b＋c）.
∵a、b、c∈R＋,
∴a＋1≥2√a＞0,b＋1≥2√b＞0,
a＋c≥2√ac＞0,b＋c≥2√bc＞0．
∴（a＋1）×（b＋1）×（a＋c）×（b＋c）≥2√a×2√b×2√ac×2√bc＝16abc,
即（ab＋a＋b＋1）（ab＋ac＋bc＋c^2）≥16abc.

左边可以因式分解为=(a+1)(b+1)(a+c)(b+c)>=2根号a*2根号b*2根号ac*2根号bc=16abc

ab+a+b+1=(a+1)(b+1)
ab+ac+bc+c²=(a+c)(b+c)
都用平均不等式
比如a+c≥2根号下ac
乘起来就是(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc

已知a,b,c,d为正实数,求证：下列三个不等式a+b 已知abc为三个正实数求证a^2/b+b^2/c+c^2/a>a+b+c 已知三个正实数a,b,c,满足a 已知a ,b, c三个正实数,求证:(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c²)≥16abc 已知abc都是正实数,求证：bc/a+ca/b+ab/c=>a+b+cRT 已知a,b,c属于正实数,求证求证(a/b+b/c+c/a)(b/a+c/b+a/c)大于等于9 已知a,b,c为正实数~求证（a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9 已知a,b,c属于正实数,求证:(a+b+c)(a²+b²+c²)>=9abc 问一道关于不等式的数学题已知a,b,c是正实数,求证：1 已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a)求证：1/a+1/b=1/c 设abc为正实数,求证:a+b+c 已知a,b,c属于正实数,求证(a+b+c)(a2+b2+c2)>=9abc 已知：a.b.c.都是正实数,且ab+bc+ca=1.求证：a+b+c>=根号3 已知a,b,c属于正实数,且a+b+c=1.求证：ab+bc+ca 已知abc属于正实数且abc=1 求证(a+b)(b+c)(c+a)≥8 已知a,b,c是正实数,求证:a+b+c大于等于根号bc+根号ac+根号ab. 已知a,b,c属于正实数,求证(a+b+c) (a2+b2+c2)>=9abc 已知a,b,c,d都是正实数,求证：根号ab+根号cd≤2分之a+b+c+d