作业帮证明n*3+5n能被6整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 07:48:58
证明n*3+5n能被6整除
证明n*3+5n能被6整除
证明n*3+5n能被6整除
利用数学归纳法
（1）当n=1时,显然成立.
（2）假设当n=k时,命题成立,即 k^3 +5k被6整除.
当n=k+1时,
(k+1)^3 +5(k+1)=k^3+3K^2+3k+1 +5k+5
=(k^3+5k) + (3k^2 +3k) +6
=(k^3+5k) + 3*k(k+1) +6
(k^3+5k) 被6整除（假设的条件）,3*k(k+1)和 6都被6整除.
所以当n=k+1时也成立.
n*3和5n同奇同偶 所以2|n*3+5n
当n=3k，显然能被3整除
当n=3k+1时，n*3+5n=9k^3+6k^2+3k+1+15k+5=3(3k^3+2k^2+k+2)，3|n*3+5n
当n=3k-1时，n*3+5n=9k^3-6k^2+3k-1+15k-5=3(3k^3-2k^2+k-2)，3|n*3+5n
所以3|n*3+5n
所以6||n*3+5n
数学归纳法
n=1时成立，
设k^3+5k=6m
(k+1)^3+5(k+1)
=k^3+3k^2+3k+1+5k+5=k^3+5k+3k^2+3k+1+5
=6m+3k^2+3k+6
=6m+3k(k+1)+6
k,k+1中一个为基数，一个为偶数，一次乘积为偶数，故上式能被6整除
证明：n³＋5n＝n³－n＋6n
＝n﹙n－1﹚﹙n＋1﹚＋6n
n－1、n、n＋1是三个连续的自然数，其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，所以，n﹙n－1﹚﹙n＋1﹚一定能被6整除，而6n也能被6整除，因此，﹙n³＋5n﹚能被6 整除。...
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证明：n³＋5n＝n³－n＋6n
＝n﹙n－1﹚﹙n＋1﹚＋6n
n－1、n、n＋1是三个连续的自然数，其中必有一个是2的倍数、一个是3的倍数，所以，n﹙n－1﹚﹙n＋1﹚一定能被6整除，而6n也能被6整除，因此，﹙n³＋5n﹚能被6 整除。
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n^3+5n同余n^3-n=n(n-1)(n+1)是三个连续整数之积，所以是6的倍数
题目不对。你写错了啊
应加上条件：n是正整数。
n^3＋5n＝n^3－n＋6n＝n（n^2－1）＋6n＝（n－1）n（n＋1）＋6n。
两个相邻的正整数中，必有一个是偶数，所以：（n－1）n（n＋1）能被2整除。
一个正整数被3除后，余数不外乎是0、1、2。可见三个相邻的正整数中，必有一个被3除后的余数为0，这个数就是能被3整除的，得：（n－1）n（n＋1）能被3整除。
2、3是互质的，...
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应加上条件：n是正整数。
n^3＋5n＝n^3－n＋6n＝n（n^2－1）＋6n＝（n－1）n（n＋1）＋6n。
两个相邻的正整数中，必有一个是偶数，所以：（n－1）n（n＋1）能被2整除。
一个正整数被3除后，余数不外乎是0、1、2。可见三个相邻的正整数中，必有一个被3除后的余数为0，这个数就是能被3整除的，得：（n－1）n（n＋1）能被3整除。
2、3是互质的，所以：（n－1）n（n＋1）能被2×3＝6整除，6n自然也能被6整除。
这说明（n－1）n（n＋1）＋6n能被6整除，即：。n^3＋5n能被6整除。
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