用综合法证明:已知a>0,b>0,那么(a+b/a)+(a+b/b)>=4.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/26 09:01:48
用综合法证明:已知a>0,b>0,那么(a+b/a)+(a+b/b)>=4.

用综合法证明:已知a>0,b>0,那么(a+b/a)+(a+b/b)>=4.
用综合法证明:已知a>0,b>0,那么(a+b/a)+(a+b/b)>=4.

用综合法证明:已知a>0,b>0,那么(a+b/a)+(a+b/b)>=4.
a>0,b>0,
(a-b)^2≥0
a^2+b^2≥2ab
a^2+b^2+2ab≥2ab+2ab
(a+b)^2≥4ab
(a+b)/a+(a+b)/b
=[b(a+b)+a(a+b)]/(ab)
=(a+b)^2/(ab)≥(4ab)/(ab)=4

原式等于 1 + b/a + 1 + a/b = 2 + (b^+a^)/ab
= 2 + [(a-b)^+2ab]/ab
= 2 + (a-b)^/ab + 2
因为 (a-b)^/ab >= 0 , 所以原式 >= 4

a>0,b>0,
(a+b/a)+(a+b/b)
=1+b/a+a/b+1
=2+(b/a+a/b)
>=2+2根号(b/a*a/b)
=2+2=4.
当b/a=a/b,即a=b时,取"=".
得证.

证明(a+b)/a+(a+b)/b=(2ab+a²+b²)/ab=2+(a²+b²/ab)
∵ a>0,b>0
∴ (a-b)²≥0
a²+b²-2ab≥0
a²+b²≥2ab
(a+b)/a+(a+b)/b=2+(a²+b²/ab)≥2+(2ab/ab)≥2+2≥4